Regulamin konkursu „Liga zadaniowa”
- Konkurs „Liga zadaniowa” dotyczy rozwiązywania nietypowych, aczkolwiek bardzo ciekawych zadań matematycznych, które będą zamieszczane na stronie internetowej naszej szkoły www.psp15.edu.pl
- Konkurs rozgrywany jest w dwóch grupach wiekowych: 4-6 klasa i 7-8 klasa.
- Komplety zadań dla każdej grupy wiekowej będą ukazywać się co dwa tygodnie, czyli dwa razy w miesiącu: w pierwszym i trzecim tygodniu miesiąca.
- Komplet zadań dla każdej grupy wiekowej będzie zawierał dwa zadania.
- Uczestnik może rozwiązać tylko te zadania, które są przeznaczone dla jego grupy wiekowej.
- Rozwiązania zadań należy przesyłać do nauczyciela matematyki, pani Wiesławy Gaweł poprzez mobidziennik.
- Za rozwiązanie zadania uczeń otrzymuje określoną ilość punktów: kl. 4-6 od 1pkt. do 2 pkt. za zadanie, kl. 7-8 od 1pkt. do 2 pkt. za zadanie.
- Rozwiązania zadań należy przesyłać odpowiednio do 13 dnia każdego miesiąca oraz do 28 dnia każdego miesiąca. Są to terminy nieprzekraczalne. Zadania przesłane po terminie nie będą podlegały sprawdzeniu.
- Rozwiązania zadań powinny być przejrzyste i wyczerpujące.
- Zadania powinny być rozwiązywane samodzielnie przez uczestników konkursu.
- Organizator ma prawo poprosić o dodatkowe wyjaśnienia w związku z przesłanym przez ucznia rozwiązaniem zadania.
- Organizator ma prawo sprawdzić, czy uczeń samodzielnie rozwiązał przesłane zadanie.
- Wyniki będą prezentowane w tabeli i publikowane na stronie internetowej naszej szkoły.
- Raz w semestrze w wyniku konkursu będzie wyłoniony jeden zwycięzca w swojej grupie wiekowej, który otrzyma dyplom.
Zadania dla uczniów klas IV – VI
Zad.25:
Waga pojemnika napełnionego mlekiem wynosi 34kg. Pojemnik napełniony mlekiem do połowy objętości waży 17,5kg. Ile waży pojemnik?
Zad.26:
Na strzelnicy w wesołym miasteczku obowiązuje następująca zasada: za strzał trzeba zapłacić, jednak trafienie w tarczę daje premię w postaci dwóch strzałów bezpłatnych. Jaś oddał w sumie 17 strzałów, chociaż zapłacił tylko za 5. Wykorzystał przy tym wszystkie możliwości. Ile razy trafił w tarczę?
Zadania dla uczniów klas VII-VIII
Zad.25:
Dwanaście dziewcząt spotkało się w kawiarni. Średnia liczba ciastek zjedzonych przez przez każdą z nich była równa 1,5. Każda z nich zjadła jedno lub dwa ciastka, lub nie zjadła ciastka w ogóle. Ile dziewcząt zjadło po dwa ciastka, jeżeli wiadomo, że tylko dwie z nich nie jadły ciastek?
Zad.26:
Osiem dziewcząt rozegrało cztery mecze ćwierćfinałowe turnieju tenisowego. Cztery zwyciężczynie rozegrały dwa mecze półfinałowe, a dwie zwyciężczynie półfinałów rozegrały finał. Okazało się, że w tych meczach (kolejność przypadkowa): Basia wygrała z Alą, Czesia wygrała z Dosią, Gosia wygrała z Helą, Gosia wygrała z Czesią, Czesia wygrała z Basią, Ela wygrała z Felą i Gosia wygrała z Elą. Która para wygrała w finale?
Rozwiązania zadań
kl. IV – VI
Zadanie 1
Kowboj powkładał naboje do pięciu kieszeni swojej bluzy. W każdej kieszeni liczba naboi jest inna, przy czym żadna kieszeń nie jest pusta i zawiera co najwyżej 5 naboi. Ile łącznie naboi posiada kowboj?
Kowboj powkładał do pięciu kieszeni swej bluzy odpowiednio 1, 2, 3, 4 lub 5 naboi. Łącznie więc ich liczba wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Zadanie 2.
W naszym ogrodzie rośnie więcej niż 90, ale mniej niż 100 drzew. Trzecią ich część stanowią jabłonie, czwartą część śliwy a resztę czereśnie. Ile dokładnie jest drzew w naszym sadzie?
Liczba drzew w naszym ogrodzie jest podzielna przez 3 i 4. Jedyną liczbą naturalną większą niż 90 i mniejszą niż 100 spełniającą ten warunek jest liczba 96. Wnioskujemy więc, że w naszym ogrodzie są 32 jabłonie, 24 śliwy, 40 czereśni.
Zadanie 3
Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 27. Jaka liczba jest najmniejsza z nich?
Jeśli k jest
liczbą nieparzystą, to k +2 oraz k + 4 są dwiema kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Ponieważ k +(k + 2) + (k+ 4) = 27, więc k =7.
Zadanie 4
W ogródku trzy koty polują na sześć ptaków. Ile nóg mają te zwierzęta?
Liczba nóg wszystkich zwierząt, o których jest mowa w zadaniu, jest równa
3 * 4 + 6 * 2 = 12 + 12 = 24
Zadanie 5
Wiedząc, że liczba 82** jest podzielna przez 90, znajdź iloraz.
Liczba dzieli się przez 90, więc musi być podzielna przez 10 i przez 9. Zatem cyfrą jedności jest 0
i suma cyfr tej liczby dzieli się przez 9. Oznaczając przez a cyfrę dziesiątek tej liczby, otrzymujemy, że suma jej cyfr 8+2+a+0=10+a jest liczbą podzielną przez 9, co jest możliwe tylko dla a=8. Liczbą tą jest 8280, a szukanym ilorazem liczba 92.
Zadanie 6
Jestem liczbą. Liczba moich setek jest podwojeniem cyfry moich jedności, która jest potrojeniem cyfry moich dziesiątek. Cyfra moich dziesiątek wynosi 3. Kim jestem?
Cyfra jedności tej liczby jest potrojeniem cyfry dziesiątek, a zatem jest równa 9. Liczba setek jest podwojeniem cyfry jedności, więc setek jest 18. Szukaną liczbą jest więc 1839.
Zadanie 7
Oblicz działanie:
99 – 97 + 95 – 93 + …+ 3 – 1 = ?
Liczb nieparzystych od 1 do 99 jest 50, więc
99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 + … + 7 – 5 + 3 – 1 =
= (99 – 97) + (95 – 93) +…+ (7 – 5) + (3 – 1) = 25 * 2 = 50
Zadanie 8
Ile prostokątów można odnaleźć na poniższym rysunku?
Możemy znaleźć 4 małe prostokąty, 4 średniej wielkości (każdy złożony z dwóch małych) i 1 duży prostokąt , razem 9 prostokątów.
Zadanie 9
Jeżeli wypiszemy wszystkie liczby całkowite od 1 do 1000, to ile razy użyjemy cyfry 5?
W liczbach od 1 do 100 piątka jako cyfra jedności pojawia się 10 razy. W każdej kolejnej setce jako cyfra jedności wystąpi także 10 razy. Zatem piątki jako cyfry jedności użyto 10 * 10 razy, czyli 100 razy. Piątki do zapisu cyfry dziesiątek użyto też 100 razy ( pojawia się ona w liczbach 50, 51, …, 59,150,151,….,159,….,950,951,….,959). Jako cyfra setek, piątka wystąpi w liczbach 500, 501, ….., 599. Liczb takich jest 100. W sumie do zapisu wszystkich liczb od 1 do 1000 cyfry 5 użyto 300 razy.
Zadanie 10
Na parterze teatru znajduje się 26 rzędów po 24 miejsca w każdym rzędzie. Miejsca są ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi, począwszy od pierwszego rzędu. W którym rzędzie znajduje się miejsce numer 375?
Liczba pełnych rzędów do miejsca o numerze 375 jest ilorazem przy dzieleniu z zresztą liczby 375 przez liczbę miejsc w jednym rzędzie, czyli przez liczbę 24. Ponieważ 375 = 24 * 15 + 15, więc miejsce o numerze 375 znajduje się w 16 rzędzie.
Zadanie 11
Ile wynosi suma wszystkich liczb czterocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 4, 5 bez powtarzania cyfr?
Wszystkich liczb czterocyfrowych jest 24 (cyfra tysięcy zmienia się na cztery sposoby, cyfra setek na trzy, cyfra dziesiątek na dwa i cyfra jedności na jeden sposób). Dodając cyfry jedności wszystkich tych liczb, otrzymujemy 6 * (1 + 2 + 4 + 5) = 72, gdyż każda cyfra jedności występuje w sześciu liczbach. Tyle samo wynoszą sumy wszystkich cyfr dziesiątek, setek i tysięcy tych liczb. Stąd wynika, że suma tych liczb jest równa 72 + 72 * 10 + 72 * 100 + 72 * 1000 = 79 992.
Zadanie 12
Joanna kupiła pewną liczbę długopisów i ołówków. Każdy długopis kosztował 90 groszy, a każdy ołówek 40 groszy. Razem zapłaciła 3 złote i 50 groszy. Ile ołówków kupiła Joanna?
Ponieważ 90 nie jest dzielnikiem liczby 350 i 40 nie jest dzielnikiem liczby 350, więc Joasia kupiła co najmniej jeden ołówek i co najmniej jeden długopis. Zauważmy, że 350gr – 130gr = 220gr, co oznacza, że zakup Joanny zawierał co najmniej 2 ołówki i 2 długopisy. Ale 350gr – 260gr = 90gr, więc Joasia kupiła 2 ołówki i 3 długopisy.
Zadanie 13
Ile godzin trwa połowa trzeciej części ćwiartki doby?
Wystarczy zauważyć, że 1/2 * 1/3 * 1/4 * 24 = 1. Zatem połowa trzeciej części ćwiartki doby trwa 1 godzinę.
Zadanie 14
Łączna pojemność trzech dzbanków i dwóch butelek jest równa 16 litrów, przy czym pojemność każdego z tych dzbanków jest dwukrotnie większa niż pojemność każdej z tych butelek. Łączna pojemność dwóch takich dzbanków i trzech takich butelek jest równa.
Łączna pojemność trzech dzbanków i dwóch butelek jest równa pojemności ośmiu butelek, gdyż każdy dzbanek ma pojemność dwóch butelek oraz butelki mają taką samą pojemność. Zatem jedna butelka ma pojemność 2 litrów. Tym samym łączna pojemność dwóch dzbanków i trzech butelek będzie równa pojemności siedmiu butelek, czyli 14 litrów.
Zadanie 15
Po jednej stronie drogi z domu Tomka do szkoły rośnie 17 drzew. Pewnego dnia Tomek znaczył je białą kredą w następujący sposób: w drodze z domu do szkoły zaznaczył co drugie drzewo, zaczynając od pierwszego. W drodze powrotnej zaznaczył co trzecie drzewo, zaczynając od pierwszego. Ile drzew nie zostało zaznaczonych?
Tomek w drodze z domu do szkoły zaznaczył 9 drzew, a w drodze powrotnej zaznaczył dodatkowo 3 drzewa, które poprzednio nie były zaznaczone. Pozostało więc 5 drzew niezaznaczonych.
Zadanie 16
W sklepie zoologicznym było 5 papug. Średnia cena każdej z nich była równa 600zł. Pewnego dnia najpiękniejsza z tych papug została sprzedana. Średnia cena każdej z pozostałych 4 papug była równa 500zł. Jaka była cena sprzedanej papugi?
Łącznie wszystkie 5 papug kosztowało 5*600=3000 złotych. Po sprzedaniu najpiękniejszej z nich łączna wartość pozostałych spadła do 4*500=2000 złotych. Najpiękniejszą papugęsprzedano zatem za 3000-2000=1000 złotych.
Zadanie 17
Babcia upiekła swoim wnukom paszteciki. Gdyby dała każdemu z nich po 2, to pozostałoby jej 3 paszteciki, a gdyby chciała dać każdemu z nich po 3, to zabrakłoby jej 2 pasztecików. Ilu wnuków ma babcia?
Gdyby babcia dała każdemu ze swoich wnuków po 2 paszteciki, to pozostałyby jej 3 paszteciki. Chcąc obdarować każdego z wnuków trzecim pasztecikiem, babcia dałaby trzem swoim wnukom po jednym dodatkowym paszteciku, ale zabrakłoby jej pasztecików dla dwóch wnuków. Zatem babcia ma pięciu wnuków.
Zadanie 18
W parku wzdłuż alejki o długości 20 metrów postanowiono po obu jej stronach posadzić krzewy róż. Zachowano przy tym zasadę, że odległość pomiędzy każdymi sąsiednimi krzewami po każdej stronie alejki jest równa 2 m. Jaka jest największa liczba krzewów, które można posadzić wzdłuż tej alejki?
Po każdej stronie alejki można posadzić co najwyżej 11 krzewów róż. Łącznie możemy więc posadzić 22 krzewy.
Zadanie 19
Mama przygotowała na zimę sok wiśniowy, którym można napełnić dokładnie 12 dużych słoików albo dokładnie 20 mniejszych słoików. Mama napełniła już 9 dużych słoików i resztę postanowiła rozlać do mniejszych słoików. Ile takich słoików napełni pozostałym sokiem?
Niech d będzie pojemnością dużego słoika, a m niech będzie pojemnością małego słoika. Z warunków zadania wynika, że 12d = 20m, a po skróceniu przez 4 będzie 3d = 5m.
Po napełnieniu sokiem 9 dużych słoików pozostała jeszcze część soku zmieściłaby się w 3 dużych słoikach. Z równości 3d = 5m wnioskujemy, że pozostałą częścią można napełnić 5 małych słoików.
Zadanie 20
Parę liczb całkowitych nazywamy „dobrą”, jeśli ich suma jest równa ich iloczynowi. Ile jest dobrych par liczb?
Niech a,b będzie dobrą parą liczb całkowitych. Spełniają one równość ab = a + b. Jest ona równoważna równości (a – 1)(b – 1) = 1. Z faktu, że a i b są liczbami całkowitymi, wnioskujemy, iż albo a – 1 = 1 b – 1 = 1, albo a – 1 = -1 i b – 1 = -1. Stąd otrzymujemy dwie pary dobrych liczb całkowitych: a = b = 2 lub a = b = 0.
Zadanie 21
W kwiaciarni są 102 róże, w tym : 24 białe, 42 czerwone i 36 żółtych. Jaka jest największa liczba jednakowych bukietów, które można ułożyć ze wszystkich tych róż?
Skoro bukiety są jednakowe, to liczba białych róż w każdym z tych bukietów jest taka sama. To samo spostrzeżenie dotyczy pozostałych rodzajów róż. Zatem liczba bukietów jest dzielnikiem każdej z liczb: 24, 42, 36. Poszukiwana liczba jest więc największym wspólnym dzielnikiem tych liczb, czyli jest równa 6.
Zadanie 22
W roku 2008 cyfra jedności jest czterokrotnością cyfry tysięcy. Jaka jest minimalna liczba lat, które muszą upłynąć, aby taka sytuacja się powtórzyła?
Najmniejszą liczbą większą od 2008, w której cyfra jedności jest czterokrotnością cyfry tysięcy, jest 2018. Zatem opisana w zadaniu sytuacja nastąpi najwcześniej po upływie 10 lat.
Zad.23:
W klasie jest 20 uczniów. Uczniowie siedzą w ławkach parami w ten sposób, że dokładnie 1/3 chłopców siedzi z dziewczętami, a dokładnie połowa dziewcząt siedzi z chłopcami. Ilu chłopców jest w klasie?
Przez x oznaczamy liczbę dziewcząt siedzących z chłopcami (i jednocześnie liczbę chłopców siedzących z dziewczętami). Jedna trzecia chłopców siedzi z dziewczętami, więc chłopców jest 3x. Połowa dziewcząt siedzi z chłopcami, więc liczba dziewcząt to 2x.
Zad.24:
Kinga miała 49 niebieskich koralików i jeden czerwony. Część z nich zgubiła. Teraz niebieskie koraliki stanowią 90% jej wszystkich koralików. Ile koralików zgubiła Kinga?
Niebieskie koraliki stanowią 90% wszystkich, a jeden czerwony koralik stanowi 10% wszystkich, więc jest 9 niebieskich koralików. Oznacza to, że Kinga zgubiła 49-9=40 koralików.
kl. VII-VIII
Zadanie 1.
Ile godzin trwa połowa trzeciej części ćwiartki doby?
Należy zauważyć, że 1/2 * 1/3 * 1/4 * 24 = 1. Czyli połowa trzeciej części ćwiartki doby trwa 1 godzinę.
Zadanie 2.
Grupa uczniów z klasy planuje krótką wycieczkę. Gdyby każdy z nich dal po 14 zł, to zabrakłoby 4 złotych na opłacenie kosztów wycieczki. Gdyby zaś każdy z nich dał po 16 złotych, to łącznie mieliby oni o 6 złotych więcej, niż wynosi koszt wycieczki. Ile złotych każdy z uczniów powinien zapłacić za planowaną wycieczkę?
Zauważmy, że jeśli każdy z uczniów dałby 2 złote więcej, to łączna suma wzrosłaby o 10 zł. Stąd wnioskujemy, że udział w wycieczce planowało pięciu uczniów. Koszty jej wyniosły 74 zł i każdy z uczniów powinien zapłacić 74 zł : 5 = 14,80 zł
Zadanie 3
Kolarz jadąc na rowerze osiągną prędkość 18 km/h. Jaka jest jego średnia prędkość w metrach na sekundę?
18 km/h = 18 * 1000m/3600s = 18 * 5m/18s = 5 m/s
Zadanie 4
Paweł waży półtora raza więcej niż Adam, który waży dwa razy więcej niż mała Julia. Łącznie waga całej trójki wynosi 60 kg. Ile waży Julia?
Niech J oznacza wagę Julii, 2J wagę Ariela, a 1,5 * 2J = 3J wagę Pawła. Należy rozwiązać równanie:
J + 2J + 3J = 60kg
6J = 60kg /:6
J = 10kg
Julia waży 10 kg.
Zadanie 5
Liczba uczniów pewnego liceum jest zawarta między 500 a 1000. Kiedy grupujemy ich bądź po 18, bądź po 20, bądź po 24, pozostaje za każdym razem 9 uczniów. Ilu uczniów liczy to liceum?
Jeśli X oznacza liczbę uczniów w liceum, to z warunków zadania wiemy, że liczba X – 9 jest podzielna przez 18, przez 20 i przez 24. Ponieważ NWW (18,20,24) = 360, więc liczba X – 9 jest taką wielokrotnością liczby 360, która jest liczbą zawartą pomiędzy 500 i 1000. Ponieważ tylko dwukrotność liczby 360 spełnia ten warunek, stąd X – 9 = 2 * 360, czyli X = 729.
Zadanie 6
Dwa koła napędowe o obwodach 240cm i 100cm połączono pasem transmisyjnym. Większe koło wykonuje 120 obrotów na minutę. Ile obrotów na minutę wykonuje mniejsze koło?
Jeżeli koła są połączone pasem transmisyjnym, znaczy to, że poruszają się tak, jakby miały pokonać tę samą drogę. Ponieważ obwód drugiego koła jest 2,4 razy mniejszy, więc obraca się ono 2,4 razy szybciej i wykonuje 2,4 * 120 = 288 obrotów na minutę.
Zadanie 7
Sześcian pomalowano na czerwono rozcięto na 125 małych jednakowych sześcianów. Ile wśród nich nie ma ani jednej ściany pomalowanej na czerwono?
Łatwo zauważyć, że 8 sześcianików ma pomalowane po 3 ściany, 36 sześcianików ma pomalowane po 2 ściany oraz 6 * 9 = 54 ma pomalowane tylko po jednej ścianie.
Zostaje 125 – (8 + 36 + 54) = 27 sześcianików, które nie mają pomalowanej żadnej ściany.
Zadanie 8
W karawanie złożonej z wielbłądów dwugarbnych i dromaderów jednogarbnych naliczono 28 głów i 45 garbów. Ile było dromaderów?
Gdyby w karawanie były same dromadery, to garbów byłoby 28. Stąd wnioskujemy, że wielbłądów dwugarbnych jest 45 – 28 = 17, a zatem dromaderów jest 28 – 17 = 11.
Zadanie 9:
Piszemy jednym ciągiem kolejne liczby naturalne:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
Jaka cyfra wypadnie na 1994 miejscu?
Pierwsze 9 miejsc zajmują liczby jednocyfrowe. Liczby dwucyfrowe zajmują w naszym ciągu następne 180 miejsc. Do miejsca o numerze 1993 zostało jeszcze 1993 – 189 = 1804 pozycji. Ponieważ liczba trzycyfrowa zajmuje swoim zapisem trzy miejsca, więc na 1804 miejscach zapisu jest 601 liczb trzycyfrowych i rozpoczęta jest 602, liczba trzycyfrowa. Liczbą tą jest 701, a jej pierwszą cyfrą, a tym samym cyfrą na 1804. miejscu, jest 7.
Zadanie 10:
W pokoju znajduje się 9 osób. Średnia ich wieku wynosi 25 lat. W innym pokoju znajduje się 11 osób ze średnią wieku 45 lat. Jaka jest średnia wieku wszystkich 20 osób?
Suma lat 9 osób wynosi 25 * 9 = 225 lat, a suma lat 11 osób wynosi 45 * 11 = 495 lat. Średnia wieku wszystkich 20 osób wynosi więc (495 + 225) : 20 = 720 : 20 = 36 lat.
Zadanie 11:
Zegarek elektroniczny wskazuje godziny, minuty i sekundy. Jest właśnie godzina 19 : 57 : 33. Po ilu sekundach po raz pierwszy zmienią się wszystkie cyfry na tym zegarku?
Pierwsza jednoczesna zmiana wszystkich cyfr nastąpi o godzinie 20:00:00, tzn. po 147 sekundach.
Zadanie 12:
Mydło ma kształt prostopadłościanu. Piotr używając je równomiernie zauważył, że po 19 dniach wszystkie wymiary mydła zmniejszyły się o 1/3 swoich początkowych wartości. Na ile jeszcze dni wystarczy mydła Piotrowi, jeżeli będzie zużywać je w takim samym tempie, jak dotychczas?
Po 19 dniach Piotrowi pozostało mydło o objętości (2/3) do trzeciej potęgi * V, gdzie V jest objętością mydła przed rozpoczęciem jego używania. Każdego dnia Piotr zużywa
1/19 * ( V – (2/3) do potęgi 3 * V) = 1/27V część mydła.
Mydła tego starczy więc Piotrowi jeszcze na 27 – 19 = 8 dni.
Zadanie 13:
Łączna pojemność trzech dzbanków i dwóch butelek jest równa 16 litrów, przy czym pojemność każdego z tych dzbanków jest dwukrotnie większa niż pojemność każdej z tych butelek. Łączna pojemność dwóch takich dzbanków i trzech takich butelek jest równa.
Zauważmy, że jeżeli każdy z uczniów dałby 2 złote więcej, to łączna suma wzrosłaby o 10 zł. Stąd wnioskujemy, że udział w wycieczce planowało pięciu uczniów. Koszty jej wyniosły 74zł i każdy z uczniów powinien zapłacić 74zł : 5 = 14,80zł
Zadanie 14:
Karolina pocięła kartkę papieru na 10 części. Następnie wzięła jedną z nich i pocięła ją także na 10 części. Ostatnią czynność chciałaby powtórzyć jeszcze trzykrotnie. Ile kawałków papieru otrzymałaby w rezultacie wszystkich tych cięć?
Każde cięcie kartki lub skrawka papieru zwiększa o 9 liczbę części, na które pocięto papier. Pięciokrotne cięcie kartki papieru lub jej części daje nam łącznie 46 części, gdyż na początku mieliśmy tylko jedną kartkę.
Zadanie 15:
W pokoju jest pięciu mężczyzn. Każdy z nich jest albo kłamcą, który zawsze kłamie, albo rycerzem, który zawsze mówi prawdę. Każdemu z nich zadano pytanie: „Ilu kłamców jest wśród was?”. Padły odpowiedzi: „jeden”, „dwóch”, „trzech”, „czterech”, „pięciu”. Ilu kłamców było w pokoju?
Ponieważ wszystkich mężczyzn w pokoju było pięciu, więc dokładnie jedna z pięciu odpowiedzi jest prawdziwa, a pozostałe cztery nieprawdziwe. Zatem w pokoju jest jeden rycerz i czterech kłamców.
Zadanie 16:
Mamy do dyspozycji 6 odcinków o długościach: 1, 2, 3, 2001, 2002, 2003. Na ile sposobów można wybrać spośród nich takie trzy, z których można utworzyć trójkąt?
Korzystając z nierówności trójkąta wypisujemy trójki odcinków, z których można zbudować trójkąt: (2001, 2002, 2003), (3,2002,2003), (2,2002,2003), (3,2001,2003), (2,2001,2002), (3,2001,2002). Można więc wybrać 6 możliwości.
Zadanie 17:
Długością liczby naturalnej n większej niż 1 nazywamy liczbę czynników w przedstawieniu n w postaci iloczynu liczb pierwszych. Na przykład, długość liczby 90=2*3*3*5 jest równa 4. Ile liczb nieparzystych mniejszych niż 100 ma długość 3?
W rozkładzie liczby naturalnej nieparzystej większej niż 1 na iloczyn liczb pierwszych nie występuje 2. Należy zatem wyszukać liczby mniejsze od 100, mające przedstawienie w postaci iloczynu trzech liczb pierwszych, z których żadna nie jest równa 2. Liczbami takimi są jedynie:
27 = 3 * 3 * 3,
45 = 3 * 3 * 5,
63 = 3 * 3 * 7,
99 = 3 * 3 * 11,
75 = 3 * 5 * 5
Zadanie 18:
Pociąg składa się z lokomotywy i pięciu wagonów oznaczonych numerami: I, II, II, IV, V. Na ile sposobów można zestawić skład tego pociągu tak, aby wagon I był bliżej lokomotywy niż wagon II?
Liczba wszystkich możliwych ustawień pięciu wagonów jest równa 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120, z czego dokładnie połowa z nich to ustawienia, w których wagon I jest bliżej lokomotywy niż wagon II. Stąd poszukiwana liczba ustawień wagonów jest równa 120 : 2 = 60.
Zadanie 19:
Samochód ciężarowy, jadąc ze stałą prędkością, przebył drogę z miasta A do miasta B w czasie 1 godziny i 30 minut i drogę z miasta B do miasta C w czasie 1 godziny. Tę samą trasę pokonał, również ze stałą prędkością, samochód osobowy, który z miasta A do miasta B jechał 1 godzinę. Ile czasu jechał ten samochód z miasta B do miasta C?
Zadanie 20:
Na każdej z 18 kart napisano jedną z liczb: 4 albo 5. Okazało się, że suma wszystkich liczb na kartach jest podzielna przez 17. Na ilu kartach napisano liczbę 4?
Zadanie 21:
Pewien chłopiec w czwartki i piątki zawsze mówi prawdę, we wtorki zawsze kłamie, a w pozostałe dni tygodnia udziela odpowiedzi losowo, to znaczy czasem kłamie, a czasem mówi prawdę. Przez 7 kolejnych dni pytano go, jak ma na imię. Podczas pierwszych 6 dni chło9piec udzielił następujących odpowiedzi, w takiej oto kolejności:
Jan, Robert, Jan, Robert, Piotr, Robert. Jakiej odpowiedzi udzielił siódmego dnia?
Łatwo wywnioskować, że pierwsza odpowiedź udzielona została przez chłopca w piątek. Zatem ma on na imię Jan i siódmego dnia, a jest to czwartek, odpowie on „Jan”. Dla przykładu podaję analizę, iż nie mógł rozpocząć udzielania odpowiedzi w niedzielę, gdyż wówczas w czwartek odpowiedziałby „Piotr”, a w piątek powiedziałby, że ma na imię Robert. Sprzeczność ta eliminuje niedzielę, jako pierwszy dzień udzielania odpowiedzi.
Zadanie 22:
Pięciocyfrowa liczba naturalna 24x8y jest podzielna przez 4, przez 5 i przez 9. Ile wynosi suma cyfr x i y.
Z podzielności przez 5 liczby 24x8y wynika, że y=0 lub y=5. Ponieważ liczba ta jest podzielna przez 4, więc jest parzysta, a stąd y=0. Z podzielności liczby przez 9 wnioskujemy, że suma jej cyfr, czyli 2+4+x+8+0=14 + x, jest podzielna przez 9. Stąd x=4 i w rezultacie otrzymujemy, że
x + y = 4 + 0 = 4
Zad.23:
Paweł i Leon spojrzeli jednocześnie na swoje zegarki. Zegarek Pawła spóźnia się o 10 minut, lecz Paweł sądzi, że jego zegarek spieszy się o 5 minut. Zegarek Leona spieszy się o 5 minut, lecz Leon sądzi, że jego zegarek spóźnia się o 10 minut. Paweł uważa, że teraz jest 12:00. Która godzina jest teraz według Leona?
Paweł uważa, że teraz jest 12:00. Paweł sądzi, że jego zegarek spieszy się o 5 minut, a zatem zegarek Pawła wskazuje godzinę 12.05. Wiadomo, że zegarek Pawła spóźnia się o 10 minut, więc w tym momencie naprawdę jest godzina 12:15.
Zad.24:
Na tablicy napisano kilka różnych dodatnich liczb całkowitych. Iloczyn najmniejszych dwóch z nich jest równy 16, a iloczyn największych dwóch z nich jest równy 225. Ile wynosi suma wszystkich liczb napisanych na tablicy?
Iloczyn najmniejszych dwóch z danych liczb jest równy 16, więc są to liczby 1 i 16 lub 2 i 8. Z tego możemy wywnioskować, że dwie największe z danych liczb są nie mniejsze od 8. Iloczyn tych dwóch największych jest równy 225=3*3*5*5, więc muszą to być liczby 9 i 25. Wówczas liczby 1 i 16 nie mogą być dwiema najmniejszymi, więc są nimi 2 i 8.
Oczywiście, nie ma liczby naturalnej większej od 8 i mniejszej od 9. A zatem na tablicy są napisane cztery liczby: 2,8,9,25, ich suma to: 2+8+9+25=44.
Wyniki (02.01.2025r.)
| Lp. | Nazwisko i imię ucznia | Klasa | Ilość punktów |
| 1 | Studzińska Matylda | 8b | 9 |
| 2 | Pałach Piotr | 7b | 20 |
| 3 | Zgórski Tymoteusz | 6a | 19 |
| 4 | Zgórski Nikodem | 8a | 18,5 |
| 5 | Dąbrowski Igor | 7a | 5 |
| 6 | Szafirski Julian | 5c | 2 |
| 7 | Salazs De Borbatviz Szymon | 7a | 3 |