Regulamin konkursu „Liga zadaniowa”
- Konkurs „Liga zadaniowa” dotyczy rozwiązywania nietypowych, aczkolwiek bardzo ciekawych zadań matematycznych, które będą zamieszczane na stronie internetowej naszej szkoły www.psp15.edu.pl
- Konkurs rozgrywany jest w dwóch grupach wiekowych: 4-6 klasa i 7-8 klasa.
- Komplety zadań dla każdej grupy wiekowej będą ukazywać się co dwa tygodnie, czyli dwa razy w miesiącu: w pierwszym i trzecim tygodniu miesiąca.
- Komplet zadań dla każdej grupy wiekowej będzie zawierał dwa zadania.
- Uczestnik może rozwiązać tylko te zadania, które są przeznaczone dla jego grupy wiekowej.
- Rozwiązania zadań należy przesyłać do nauczyciela matematyki, pani Wiesławy Gaweł poprzez mobidziennik.
- Za rozwiązanie zadania uczeń otrzymuje określoną ilość punktów: kl. 4-6 od 1pkt. do 2 pkt. za zadanie, kl. 7-8 od 1pkt. do 2 pkt. za zadanie.
- Rozwiązania zadań należy przesyłać odpowiednio do 13 dnia każdego miesiąca oraz do 28 dnia każdego miesiąca. Są to terminy nieprzekraczalne. Zadania przesłane po terminie nie będą podlegały sprawdzeniu.
- Rozwiązania zadań powinny być przejrzyste i wyczerpujące.
- Zadania powinny być rozwiązywane samodzielnie przez uczestników konkursu.
- Organizator ma prawo poprosić o dodatkowe wyjaśnienia w związku z przesłanym przez ucznia rozwiązaniem zadania.
- Organizator ma prawo sprawdzić, czy uczeń samodzielnie rozwiązał przesłane zadanie.
- Wyniki będą prezentowane w tabeli i publikowane na stronie internetowej naszej szkoły.
- Raz w semestrze w wyniku konkursu będzie wyłoniony jeden zwycięzca w swojej grupie wiekowej, który otrzyma dyplom.
Zadania
klasy IV – VI
Zad.25:
Pies jest 9 razy cięższy od kota, mysz jest 20 razy lżejsza od kota, rzepa jest 6 razy cięższa od myszy. Ile razy pies jest cięższy o rzepy?
Zad.26:
Kwadratową kartkę papieru o wymiarach 10 cm x 10 cm rozcięto na kwadraty o polach 25 cm kwadratowych. Każdy z tych kwadratów rozcięto na 2 trójkąty. Ile trójkątów otrzymano?
klasy VII – VIII
Zad.25:
Drużyna piłki nożnej składa się z 11 piłkarzy. Przeciętny wiek piłkarzy tej drużyny wynosi 22 lata. Podczas meczu jeden z graczy tej drużyny został kontuzjowany i musiał opuścić boisko. Przeciętny wiek pozostałych piłkarzy wynosił 21 lat. Ile lat miał kontuzjowany piłkarz?
Zad.26:
W kwadracie magicznym suma wszystkich elementów każdego wiersza, każdej kolumny i każdej przekątnej jest taka sama. Figura poniżej tekstu zadania jest kwadratem magicznym, z którego dwie liczby usunięto, a trzy inne przykryto kartkami z literami A, B i C. Ile wynosi suma liczb ukrytych pod kartkami A, B i C?
| 16 | 3 | A |
| C | 10 | |
| B | 4 |
Rozwiązania zadań
kl. IV – VI
Zad.1:
122 dni.
Sposób 1: 366 dni * 8 godz. = 2928 godz., 2928 godz. : 24 godz.= 122 dni
Sposób 2: Marek każdej doby przesypiał 8 godz.=1/3 * 24 godz.,
zaś w ciągu roku 1/3 * 366 dni=122 dni.
Zad.2:
4 godziny 40 minut.
7 dni to na Marsie okres dłuższy o 7*40 minut=280 minut=4 godz. 40 minut, niż na Ziemi.Zadanie 1
Zad.3:
Kazio ma obecnie 10 lat, Ala zaś ma 3 lata. Po ilu latach Kazio będzie dwa razy starszy niż Ala?
Za a lat Kazio będzie miał a+10 lat, a Ala będzie miała a+3 lata. Wówczas
a+10=2(a+3)
a+10=2a+6
a-2a=6-10
-1a=-4 /*(-1)
a=4
Stąd łatwo otrzymujemy, że a=4.
Zad.4:
Ślimak wspina się na drzewo o wysokości 10m. W ciągu dnia podnosi się o 4 metry, a w nocy obsuwa się o 3 metry. Po ilu dniach ślimak dostanie się na wierzchołek drzewa?
Każdej doby ślimak posuwa się o 1m do góry, zatem po 6 dobach będzie na wysokości 6 m i po podniesieniu się o 4 metry siódmego dnia będzie na wierzchołku drzewa.
Zad.5:
W klasie jest mniej niż 50 uczniów. Z pracy kontrolnej z matematyki 1/7 uczniów uzyskała bardzo dobry, 1/3 dobry, połowa dostateczny, a jeden uczeń niedostateczny. Ilu uczniów liczy klasa?
Liczba uczniów dzieli się przez 7, 3 i 2, czyli dzieli się przez 42. Ponieważ szukana liczba jest mniejsza od 50, to jest nią 42.
Zad.6:
Jaś dwukrotnie spojrzał na swój zegarek elektroniczny, raz o godzinie 5:32, drugi raz o godzinie 14:41. Zauważył, że w obu tych przypadkach sumy cyfr wyrażających godziny i wyrażających minuty są takie same i wynoszą 5. Ile razy w ciągu doby zdarzy się taka sytuacja?
Jedynymi pełnymi godzinami w ciągu doby, w których suma cyfr jest równa 5 są 5, 14 oraz 23. Odpowiednio liczba minut, których suma cyfr wynosi 5 musi być równa 05, 14, 23, 32, 41, 50. W ciągu doby sytuacja opisywana w zadaniu zdarzy się więc 3*6=18 razy.
Zad.7:
Karol otwiera swój słownik i mówi: „Jeśli dodam do numeru strony, która mnie właśnie interesuje, numer strony następnej, to otrzymam w sumie 341”. Którą stronę przegląda Karol?
Niech x oznacza liczbę będącą numerem przeglądanej przez Karola strony.
Wówczas x+(x+1)=341. Stąd otrzymujemy x = 170
Zad. 8:
Trójkąt ma boki długości 6, 10, 11. Pewien trójkąt równoboczny ma taki sam obwód. Jaka jest długość boku tego trójkąta równobocznego?
Obwód danego trójkąta jest równy 6+10+11=27. Trójkąt równoboczny o obwodzie 27 ma bok długości 9.
Zad.9:
Jestem liczbą. Liczba moich setek jest podwojeniem cyfry moich jedności, która jest potrojeniem cyfry moich dziesiątek. Cyfra moich dziesiątek wynosi 3. Kim jestem?
Cyfra jedności tej liczby jest potrojeniem cyfry dziesiątek, a zatem jest równa 9. Liczba setek jest podwojeniem cyfry jedności, więc setek jest 18. Szukaną liczbą jest więc 1839.
Zad.10:
Paweł waży półtora raza więcej niż Ariel, który waży dwa razy więcej niż mała Julia. Łączna waga całek trójki wynosi 60kg. Ile waży Julia?
Niech J oznacza wagę Julii, 2J wagę Ariela, a 1,5 * 2J = 3J wagę Pawła. Wystarczy rozwiązać równanie J + 2J + 3J = 60kg, stąd otrzymujemy J = 10kg.
Zad.11:
Rodan zasila Morze Śródziemne wodą w ilości 2000 m sześciennych w czasie jednej sekundy. Jaką ilością wody wzbogaci Morze Śródziemne podczas trwania Konkursu „Kangur”?
Konkurs trwa 75 minut, a zatem 75*60=4500 sekund. W ciągu tego czasu Rodan zasila Morze Śródziemnomorskie wodą w ilości:
2000 metrów sześciennych * 4500 = 9 000 000 metrów sześciennych
Zad.12:
Oto cztery liczby: 0,3456; 0,6; 0,78; 0,2345.
Ile wynosi suma najmniejszej i największej z nich?
Największą z podanych liczb jest 0,78, a najmniejszą 0,2345. Ich suma jest równa
0,2345 + 0,78 = 1,0145
Zad. 13:
Ile liczb całkowitych mieści się pomiędzy 1,12 i 18,09?
Liczby całkowite zawarte między 1,12 i 18,09 to kolejne liczby naturalne od 2 do 18: jest ich 17.
Zad. 14:
W karawanie złożonej z wielbłądów 2-garbnych i dromaderów 1-garbnych naliczono 28 głów i 45 garbów. Ile było dromaderów?
Gdyby w karawanie były same dromadery, to garbów byłoby 28. Stąd wnioskujemy, że wielbłądów dwugarbnych jest 45-28=16, a zatem dromaderów jest 28-17=11.
Zad.15:
Pociąg o długości 1 km, jadąc bardzo wolno z prędkością 1 km/h, przejeżdża przez tunel długości 1 km. Ile czasu upłynie od momentu wjazdu do tunelu do momentu, gdy ostatni wagon opuści tunel?
Koniec pociągu, aby wjechać do tunelu, pokonuje 1km od momentu, gdy czoło pociągu rozpoczyna wjeżdżanie do tunelu. Następnie, koniec pociągu, aby wyjechać z tunelu, pokonuje 1 km od momentu wjechania do tunelu. Zatem koniec pociągu przejeżdża 2 km w czasie, gdy pociąg pokonuje tunel, co trwa 2 godziny.
Zad.16:
Za 2 czekolady Tim pozwoli mi pojeździć na swoim rowerze przez 3 godziny, za 12 cukierków przez 2 godziny. Jutro zamierzam dać mu 1 czekoladę i 3 cukierki. Na jak długo Tim pożyczy mi swój rower?
Skoro za 2 czekolady Tim pozwoli pojeździć na rowerze przez 3h, to za 1 czekoladę będę mógł pojeździć 1,5 godziny. Za 12 cukierków można pojeździć 2 godziny, więc za 3 cukierki pojeżdżę przez pół godziny. W sumie będę mógł pojeździć na rowerze 2 godziny.
Zad.17:
Joanna kupiła pewną liczbę długopisów i ołówków. Każdy długopis kosztował 90 groszy, a każdy ołówek 40 groszy. Razem zapłaciła 3zł i 50gr.Ile ołówków kupiła Joanna?
Ponieważ 90 nie jest dzielnikiem liczby 350 i 40 nie jest dzielnikiem liczby 350, więc Joasia kupiła co najmniej jeden ołówek i co najmniej jeden długopis. Zauważmy, że 350 gr – 130 gr = 220 gr, co oznacza, że zakup Joanny zawierał co najmniej 2 ołówki i 2 długopisy. Ale 350 gr – 260 gr = 90 gr, więc Joasia kupiła 2 ołówki i 3 długopisy.
Zad. 18:
Ojciec ma 52 lata, a jego dwaj synowie 24 i 18. Po ilu latach wiek ojca będzie równy sumie lat jego dwóch synów?
Za x lat synowie będą mieli odpowiednio 24 + x i 18 + x lat, a wiek ojca, który będzie miał wówczas 52 + x lat, będzie równy sumie lat jego synów, czyli 52 + x = (24 + x) + (18 + x ). Rozwiązaniem tego równania jest x = 10.
Zad.19:
W kwiaciarni są 102 róże, w tym: 24 białe, 42 czerwone i 36 żółtych. Jaka jest największa liczba jednakowych bukietów, które można ułożyć ze wszystkich tych róż?
Skoro bukiety są jednakowe, to liczba białych róż w każdym z tych bukietów jest taka sama. To samo spostrzeżenie dotyczy pozostałych rodzajów róż. Zatem liczba bukietów jest dzielnikiem każdej z liczb: 24, 42 i 36. Poszukiwana liczba jest więc największym wspólnym dzielnikiem tych liczb, czyli jest równa 6.
Zad.20:
W roku 2008 cyfra jedności jest czterokrotnością cyfry tysięcy. Jaka jest minimalna liczba lat, które muszą upłynąć, by taka sytuacja się powtórzyła?
Najmniejszą liczbą większą od 2008, w której cyfra jedności jest czterokrotnością cyfry tysięcy, jest 2018. Zatem opisana w zadaniu sytuacja nastąpi najwcześniej po upływie 10 lat.
Zad.21:
Trójkąt ma boki o długości 6, 10 i 11. Pewien trójkąt równoboczny ma taki sam obwód. Jaka jest długość boku tego trójkąta równobocznego?
Obwód danego trójkąta jest równy 6 + 10 + 11 = 27. Trójkąt równoboczny o obwodzie 27 ma bok długości 9 (27 : 3 = 9)
Zad.22:
W pewnej klasie żadnych dwóch chłopców nie urodziło się tego samego dnia tygodnia, a żadne dwie dziewczynki nie urodziły się tego samego miesiąca. Kiedy nowy chłopiec lub nowa dziewczynka przyjdzie do tej klasy, to jeden z tych warunków na pewno nie będzie spełniony. Ile dzieci jest w tej klasie?
W tej klasie każdy chłopiec urodził się w innym dniu tygodniu, więc jest co najwyżej 7 chłopców. Gdyby było mniej niż 7 chłopców, to mógłby przyjść do tej klasy chłopiec urodzony w innym dniu tygodnia niż pozostali. Zatem w klasie jest dokładnie 7 chłopców.
Zad.23:
Skacząc do basenu z trampoliny odbijam się od niej na wysokość 1 metra, następnie spadam w dół 5 metrów, wreszcie wypływając w górę 2 metry osiągam powierzchnię wody. Na jakiej wysokości nad poziomem wody znajduje się trampolina?
Niech x oznacza wysokość, na której znajduje się trampolina. Skacząc 1m w górę, spadając 5m w dół, wypływając 2m w górę i pokonując odległość x w górę jesteśmy znowu na trampolinie. Po rozwiązaniu równania 1 + x + 2 = 5 otrzymujemy x=2 metry.
Zad.24:
Zegarek elektroniczny wskazuje godziny, minuty i sekundy. Jest właśnie 19 : 57 : 33. Po ilu sekundach po raz pierwszy zmienią się wszystkie cyfry na tym zegarku?
Pierwsza jednoczesna zmiana wszystkich cyfr nastąpi o godzinie 20 : 00 : 00, tzn. po 147 sekundach.
kl. VII-VIII
Zad.1:
Aby dogonić lisa pies potrzebuje 180 sekund 360 : (8-2)=180, a lis na dobiegnięcie do nory potrzebuje około 167 sekund (1000 : 6 to w przybliżeniu 167), czyli zdąży uciec.
Zad.2:
Aby taka liczba była podzielna przez 9, tzn. by suma cyfr była podzielna przez 9, musi składać się z 9 piątek i 1 zera.
Takich liczb jest 9 (zero nie może występować na pierwszym miejscu).Zadanie 1.
Zad.3:
Gdyby mama chciała dać każdemu dziecku w pewnej dużej rodzinie po sześć jabłek, to zabrakłoby szesnastu, a jeśli da po trzy, to zostanie osiem jabłek. Ile dzieci było w tej rodzinie?
Gdyby każde dziecko dostało po trzy jabłka, to zostałoby 8 jabłek. Tych 8 jabłek pozwoliłoby uzupełnić dla dwojga dzieci do 6 jabłek i trzeciemu dać 5 jabłek. Zabrakłoby 16 jabłek, a to oznacza, że 5 dzieci nie otrzymałoby brakujących im trzech jabłek i trzecie dziecko nie dostałoby szóstego jabłka. Czyli w rodzinie było 8 dzieci.
6x – 16=3x +8
6x-3x=8+16
3x=24 /:3
x=8
Zad.4:
Długość jednego skoku kangura wynosi 5m. W ilu skokach pokona on dystans
5000m + 5000dm + 5000cm + 5000mm?
Dystans wynosi 5000m + 5000cm + 5000mm = 5555m. Kangur pokona go w 5555: 5 = 1111 skokach.
Zad.5:
Zegar ścienny wybija każdą godzinę (liczba uderzeń jest zgodna ze wskazywaną godziną na tarczy zegara: np. o godzinie 10:00 i o godzinie 22:00 usłyszymy 10 uderzeń zegara). Ponadto jednym uderzeniem zegar sygnalizuje połowę godziny. Ile uderzeń zegara można usłyszeć w ciągu doby?
Doba ma 24 godziny. Usłyszymy więc (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)*2=156 uderzeń zegara o pełnych godzinach oraz 24 uderzenia sygnalizujące połowę godziny. Liczba uderzeń zegara, które usłyszymy w ciągu doby, jest więc równa 156+24=180.
Zad.6:
Pociąg z Warszawy do Olsztyna odjeżdża o godzinie będącej sumą czasu pozostającego do południa i 14/19 czasu, jaki upływa od północy do odjazdu. O której godzinie odjeżdża pociąg?
O 9:30.
Oznaczmy przez x godzinę odjazdu pociągu. Analizując dokładnie treść zadania otrzymujemy równanie:
12-x+14/19x=x, stąd x=9 i 1/2.
Zad.7:
W pewnej okolicy podczas ulewy spadło 15 litrów wody na metr kwadratowy. O ile podniósł się poziom wody w otwartym basenie?
Na metr kwadratowy spadło 15 dm kwadratowych, czyli 0,015 m sześciennego wody. Poziom wody podniósł się wówczas o 0,015 m, czyli o 1,5 cm.
Zad.8:
Zbyszek ma 5 sześcianów. Gdy ułoży je od najmniejszego do największego, to wysokości każdych dwóch sąsiednich sześcianów różnią się o 2cm. Wysokość największego sześcianu jest równa wysokości wieży zbudowanej z dwóch najmniejszych sześcianów. Jaka jest wysokość wieży zbudowanej z wszystkich 5 sześcianów?
Wysokość piątego sześcianu jest równa wysokości wieży zbudowanej z pierwszego i drugiego. Z drugiej strony, wysokość piątego sześcianu jest większa od wysokości drugiego sześcianu o 6 cm, gdyż wysokości każdych dwóch sąsiednich sześcianów różnią się o 2 cm. Zatem wysokość pierwszego sześcianu jest równa 6 cm, a wysokość wieży zbudowanej z wszystkich pięciu sześcianów to
6cm+8cm+10cm+12cm+14cm=50cm
Zad.9:
Średnica rondla matki Mich jest dwa razy większa niż średnica rondla ojca Pich, zaś głębokość jest dwa razy mniejsza. Jaki jest stosunek objętości tych rondli?
Zauważmy, że pole podstawy rondla ojca Picha jest cztery mniejsze od pola podstawy rondla Micha, natomiast jego wysokość jest dwa razy większa od wysokości rondla Micha. Stąd stosunek objętości tych rondli wynosi 0,5.
Zad.10:
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry parzyste?
W rozważanych liczbach cyframi jedności i dziesiątek może być każda z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8. Cyframi setek zaś mogą być: 2, 4, 6, 8. Zatem liczb trzycyfrowych o parzystych cyfrach w zapisie dziesiętnym jest 4 * 5 * 5 = 100
Zad.11:
W ogrodzie na drzewach siedziała pewna liczba wron. Gdy na każdym drzewie siedziała jedna wrona, to dla jednej wrony zabrakłoby drzewa. Gdyby zaś wrony siedziały po dwie na drzewie, to na jednym z drzew nie byłoby ich wcale. Ile drzew rośnie w tym ogrodzie?
Niech x będzie liczbą drzew w ogrodzie. Wówczas liczbę wron można zapisać jako x+1 lub 2(x-1). Otrzymujemy więc równanie x+1=2(x-1). Stąd łatwo wnioskujemy, że x=3.
Zad.12:
Startując spod wieży Eiffla przeszedłem 300m w kierunku północnym, następnie 400m w kierunku zachodnim. W jakiej odległości od punktu startu się znalazłem?
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy moją odległość od punktu startu:
d = pierwiastek z sumy kwadratów liczb 300 i 400 m=500 m
Zad. 13:
W Kanadzie używa się dwóch jednostek do określania masy zboża: galonu i korca, który zawiera 8 galonów. Galon zawiera 4,5 litra. Pewien farmer sprzedał 500 000 korców zboża. Ile to wynosi w metrach sześciennych?
Mamy: 1 korzec = 8 galonów = 8 * 4,5 litra = 36 litrów.
Zatem 500 000 korców = 500 000 * 36 litrów = 18 000 000 dm sześciennych =
= 18 000 m sześciennych.
Zad. 14:
W pewnym biegu zająłem 1994 miejsce. Na mecie dowiedziałem się, że co siódmy biegacz został zdyskwalifikowany (siódmy, czternasty, dwudziesty pierwszy…..). Jaka jest moja aktualna lokata?
Dzieląc 1994 przez 7 otrzymujemy iloraz 284 i resztę 6, co oznacza, że 284 zawodników, którzy biegli przede mną, zostało zdyskwalifikowanych. Zająłem więc 1710. miejsce (1994 – 284 = 1710).
Zad. 15:
Dziś rano licznik mojego samochodu wskazywał 021120, co oznacza, że przejechałem dotychczas 21 120 kilometrów. Zapis 021120 jest palindromiczny, tzn. w obie strony – od lewj do prawej i odwrotnie – odczytujemy tę samą liczbę. Ile razy spotkamy zapis palindromiczny poczynając od 000 000 i kończąc na 999 999?
Zauważmy, że sześciocyfrowy zapis palindromiczny wyznaczony jest jednoznacznie przez układ pierwszych trzech cyfr w tym zapisie. Zatem sześciocyfrowych zapisów palindromicznych jest tyle, ile zapisów układów cyfr od 000 poczynając, a na układzie 999 kończąc. Oznacza to, że liczba poszukiwanych zapisów jest równa 1000.
Zad.16:
Prostopadłościenne pudło o wymiarach 40 cm x 25 cm x 15 cm chcemy wypełnić małymi sześcianikami, których krawędź ma długość 5 cm, oraz większymi sześcianikami o krawędzi 10 cm. Ile jest równa najmniejsza liczba sześcianików potrzebnych do całkowitego wypełnienia pudła?
Jedno z możliwych najoszczędniejszych upakowań otrzymujemy w sposób następujący. Na podstawie prostopadłościanu o wymiarach 40cm x 25cm układamy jedną warstwę złożoną z sześcianów większych w liczbie 4 * 2 = 8. Resztę prostopadłościanu wypełniamy sześcianikami mniejszymi. Liczba użytych sześcianików wynosi 2 * 8 + 8 * 5. Łącznie użyto 8 + 16 + 40 = 64 sześcianów obydwu rodzajów.
Zad.17:
Piotr, Paweł i ich dziadek poszli łowić ryby. W czasie, w którym dziadek łowił 8 ryb, Paweł 4, a Piotr 7. W ciągu jednej godziny Piotr złowił 42 ryby. Ile ryb złowili we trójkę razem w ciągu tej godziny?
eżeli Piotr w ciągu 1 godziny złowił 42 ryby, to Paweł złowił 6 * 4 = 24 ryby, a dziadek 6 * 8 = 48 ryb. Razem złowili więc 114 ryb.
Zad.18:
Liczby 1, 2, 3,…., 1022, 1023, 1024 rozmieszczono na okręgu w wymienionej kolejności zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Poruszamy się po okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara i skreślamy co drugą napotkaną liczbę tak długo, aż zostanie tylko jedna. Jaka liczba pozostanie nieskreślona, jeżeli skreślanie zaczniemy od jedynki?
Po pierwszym skreśleniu na okręgu pozostaną liczby parzyste: 2, 4, 6,…, 1024, jest ich 512. Ponowne skreślanie rozpoczniemy od liczby 2. Skreślać teraz będziemy liczby stojące na (nowych) miejscach nieparzystych. Po drugim skreśleniu zostaną liczby podzielne przez 4, mianowicie 4, 8, 12, 16,…, 1024. Ponieważ ostatnia liczba, 1024, nie została teraz skreślona, więc trzecie skreślanie zacznie się od liczby 4 i zostaną skreślone liczby, które nie dzielą się przez 8. W kolejnych skreśleniach będziemy usuwać liczby niepodzielne przez 16, 32, 64, 128, 256, 512 i 1024. Ostatecznie pozostanie liczba 1024.
Zad.19:
Samochód ciężarowy, jadąc ze stałą prędkością, przebył drogę z miasta A do miasta B w czasie 1 godziny i 30 minut i drogę z miasta B do miasta C w czasie 1 godziny. Tę samą trasę pokonywał, również ze stałą prędkością, samochód osobowy, który z miasta A do miasta B jechał 1 godzinę. Ile czasu jechał ten samochód z miasta B do miasta C?
Zauważmy, że droga z miasta B do miasta C jest równa 2/3 drogi z miasta A do miasta B. Zatem czas przyjazdu samochodu osobowego z miasta B do miasta C stanowi 2/3 czasu przejazdu tego samochodu z miasta A do miasta B, to znaczy 40 minut.
Zad.20:
W pudełku znajduje się siedem kart. Na każdej napisano dokładnie jedną z liczb od 1 do 7, i na różnych kartach, różne liczby. Mędrzec A wyciągnął losowo 3 karty z pudełka, zaś mędrzec B wyciągnął losowo 2 karty (w pudełku zostały 2 karty). Wówczas mędrzec A powiedział do mędrca B: „Wiem, że suma liczb na Twoich kartach jest parzysta”. Ile jest równa suma liczb na kartach mędrca A?
Mędrzec A stwierdzając, że suma liczb na kartach mędrca B jest parzysta, musiał mieć pewność, że mędrzec B ma karty z liczbami o tej samej parzystości. Ponieważ wyciągamy karty z liczbami od 1 do 7, więc wśród nich są trzy liczby parzyste i cztery liczby nieparzyste. Mędrzec A wyciągnął więc trzy karty tej samej parzystości (i wszystkie!), a więc wyciągnął karty z liczbami parzystymi. Suma tych liczb jest równa 2 + 4 + 6 = 12.
Zad.21:
Jeden róg kwadratu zagięto w ten sposób, że wierzchołek kwadratu pokrywa się z jego środkiem. Wiadomo, że pola powstałego pięciokąta i danego kwadratu są kolejnymi liczbami naturalnymi. Jakie jest pole danego kwadratu?
Pole danego kwadratu oznaczmy przez P. Wówczas pole powstałego pięciokąta będzie równe
7/8 * P.
Ponieważ pola te są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc
P – 7/8 * P = 1,
a stąd 1/8 * P = 1
zatem P = 8.
Zad.22:
Dwanaście dziewcząt spotkało się w kawiarni. Średnia liczba ciastek zjedzonych przez każdą z nich była równa 1,5. Każda z nich zjadła jedno lub dwa ciastka, lub nie zjadła ciastka w ogóle. Ile dziewcząt zjadło po dwa ciastka, jeżeli wiadomo, że tylko dwie z nich nie jadły ciastek?
Było 12 dziewcząt, a średnia liczba zjedzonych ciastek (na osobę) była równa 1,5, a zatem dziewczęta zjadły 12 * 1,5 = 18 ciastek. Dwie z nich nie jadły ciastek, więc 10 dziewcząt zjadło po jednym lub po dwa ciastka. Każda z tych 10 dziewcząt zjadła co najmniej po jednym ciastku – razem 10 ciastek. Zostaje 8 ciastek do zjedzenia jako drugie przez te dziewczęta, które jadły po dwa ciastka.
Zad.23:
Prostopadłościenne pudło o wymiarach 4 cm x 25 cm x 15 cm chcemy wypełnić małymi sześcianikami, których krawędź ma długość 5 cm, oraz większymi sześcianikami o krawędzi 10 cm. Ile jest równa najmniejsza liczba sześcianików potrzebnych do całkowitego wypełnienia pudła?
Jedno z możliwych najoszczędniejszych upakowań otrzymujemy w sposób następujący. Na podstawie prostopadłościanu o wymiarach 40 cm x 25 cm układamy jedną warstwę złożoną z sześcianów większych w liczbie 4 * 2 = 8. Resztę prostopadłościanu wypełniamy sześcianikami mniejszymi. Liczba użytych sześcianików wynosi 2 * 8 + 8 * 5. Łącznie użyto 8 + 16 + 40 = 64 sześcianów obydwu rodzajów.
Zad.24:
Duży sześcian o wymiarach 9 x 9 x 9 został utworzony z małych sześcianików o wymiarach
1 x 1 x 1. Duży sześcian został pomalowany. Ile małych sześcianików ma dokładnie dwie pomalowane ściany?
Małe sześcianiki z dwiema pomalowanymi ścianami znaleźć można tylko przy krawędziach dużego sześcianu. Przy każdej z dwunastu krawędzi sześcianu jest ich 7. Tak więc małych sześcianów z dwiema pomalowanymi ścianami jest 12 * 7 = 84
Wyniki (28.04.2025r.)
| Lp. | Nazwisko i imię ucznia | Klasa | Ilość punktów |
| 1 | Zgórski Tymoteusz | 7a | 5 |
| 2 | Nowak Milena | 8b | 21 |
| 3 | Balazs Szymon | 8a | 6 |
| 4 | Dąbrowski Igor | 8a | 20 |
| 5 | Kuczyński Michał | 8a | 2 |
| 6 | Sztrąpf Filip | 5a | 18 |
| 7 | Pałach Piotr | 8b | 15 |